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不动点定理 布劳威尔定理

考虑平面上一个圆盘，圆盘的点经过任意的连续变换（不一定一对一），使得每个点的位置有所改动，但仍在圆内。

布劳威尔定理
    每一个这样的变换至少使一个点不动

    假设没有一个点保持不动，则我们考虑圆边界上的点为起点的向量，所有的向量都指向圆内，从边界某点P1开始，沿逆时针方向走，向量的方向随之改变。
    当起点回到原来位置时，向量也回到原来位置。则向量旋转的总角度变化为2π的整数倍。
    以下说明必为2π
    变换向量总是指向圆的内部，而不会沿着切线方向，如果变换向量的旋转角度不等于切向量旋转角度(2π)，则变换向量至少绕着切线旋转一周，而且由于切线和变换向量是连续转动的，在圆周的某个点上，变换向量必须指着和切线同样的方向。这是不可能的

    现在考率同心圆，这些圆的变换向量和也是2π，因为从圆周到同心圆的时候，点是连续变换，那么变换向量和也应该是连续变换的。所以永远是2π
    我们找到任意小的同心圆，近似于圆心的向量方向，那么这个角的总变换量也任意小，则为0。矛盾。假设不成立。

    定理可以推广到任何圆盘的拓扑变换的象的图形，

    这是以下事实的直接推论：不可能把一个圆盘连续变换成他的圆周而使圆周上的每个点保持不动 显然成立 /*对于这个 我十分十分的囧*/

    假设存在圆盘到自身的没有不动点的变换，假设P->P’如此，那么以P为起点，不断变换到圆周上某点P*， P->P*是整个圆盘到圆周的变换，并且使圆周上每一个点保持不动。矛盾

    类似的方法可以对实心球等建立布劳威尔定理。

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五色定理
    假设在每一个顶点，恰有三个弧相遇，则称这样的图形为正规的
    如果把有多余三个弧相遇的定点用一个小圆来代替，并且把这样的圆内部和相会于该定点的某个区域连成一片就得到一个新的地图。这两个图可以互相转化。

证明
    一个正规地图必须至少包含一个边数少于6的多边形。用Fn表示有n个边的区域的个数
    F=F2+F3+…
    每个弧有两个端点，每个顶点是三个弧的端点。
    E为弧的个数 则2E=3V
    以n个弧为界的区域有n个顶点，每个顶点属于三个区域
    2E=3V=2F2+3F3+4F4…
    V-E+F=2 => 6V-6E+6F=12
    6V=4E => 6F-2E=12
    6(F2+F3+F4+….)-(2F2+3F3+4F4+..)=12
    4F2+3F3+2F4+1F5+0F6+(-1)F7+… = 12
    F2 F3 F4 F5 中至少有一个为正 得证

设M是球面上带有n个区域的正规地图
    情形1 M包含一个区域A 带有2 3或4个边，去掉A和相邻一个区域之间的边界，得到的M’是带有n-1个区域的正规地图，如果M’能用五种颜色上色，则M也能，因为最多有M的四个区域和A相邻，必能找到第五色给A上色。

    情形2 M包含一个有五边的区域，考虑与A相邻的五个区域，称为BCDEF，总能找到彼此不相接的一对。假设C和F不相接，去掉A与C和A与F的边，那么就形成一个n-2个区域的新地图M’，如果新地图能够五上色，那么原来的地图也能够五上色。因为恢复之后，CF颜色相同，A之多和4种不同色相连，所以总能找到第五种颜色给A。

    如此反复，必能得到少于6个区域的地图，直接上色，再回推即可。
 

若当曲线定理
    任一简单闭曲线C把平面上不属于C的点分为两个不同的区域(没有公共点)，他们以C为公共边界。讨论C为封闭多边形P的情形。如果过p点沿固定方向的射线和P的交点个数为偶数，那么p属于A，如果是奇数,p属于B。若用折线将A中的点和B中的点连接，则该折线必将与P相交。同一类的任意两点能用一条不与P相交的折线连接。

    记同一类的两点p q，pq若不和P相交，成立，若相交设p’为第一个交点，q’为第二个交点。做一条通路以p为起点沿着pp’而行，然后在p’之前沿着P走，回到q’上，然后继续。
代数基本定理
    n次复系数方程有n个复数根 或者说f(z) = 0 总有一个复数成立。

    假设f(z)<>0 那么令z在复数系中任意画一条闭曲线C，不过原点。 f(z)的阶数为连接O点和C上的点的向量所转过的圈数。以O为中心，t为半径的圆T，定义φ(t)为O关于f(z)

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