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e
    an=1+1/1!+1/2!+…+1/n!
    {an}为单调递增序列
    an <1 + 1+1/2 + 1/2^2 + 1/2^(n-1)…. = 1+2(1-1/2^n) < 3
    由单调序列原理：任何一个有上界的单调递增序列必然收敛于一个极限
    则{an}收敛于一个极限，定义为e = 2.71828183…

e是无理数
    假设e = p/q 其中p和q是整数，导出一个与假设矛盾的结果
    2<e<3 所以e不是整数，q至少等于2
    e*q! = p*2*3*…*(q-1) = [q!+q! + 3*4*..*q + (q-1)*q + q + 1] + 1/(q+1) + 1/(q+1)(q+2)
    左端为整数，右端非整数，非方括号部分小于1/2，矛盾
π

    割圆术 p(2^m) = 2 msqrt(2-sqrt(2+sqrt(2+….)))) m-1个平方根号
    π是超越数
    π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+…
    π^2/6 = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 +…
    π/2 = (2*2*4*4*6*6*8*8*….)/(1*3*3*5*5*7*7*9…)

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连分数
    x = sqrt(2) -1是方程x^2+2x-1=0的根
    x = 1/(2+x)
    x = 1/(2+1/(2+x))
    迭代 后即可

e = 2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(6+1/…)

e = 2+1/(1+1/(2+2/(3+3/(4+4/5+…))

π/4 = 1/(1+1^2/(2+3^2/(2+5^2/(2+7^2/…..)
sinx/x->1 [x->0]
sinx < x < tanx
1< x/sinx < 1/cosx
cosx < sinx/x < 1

布尔查诺定理

    一元连续函数在连续闭区间 [a,b]上，对x某值为正，对另外一个值是负的，那么必定有某个x的中间值使函数值为0
威尔斯特拉斯极值定理
    在[a,b]上连续，那么必然至少有一点，f(x)取最大值，有另外一点，使f(x)取最小值
                                                                                                                                                                                                                           
布尔查诺定理应用

证明 平面上有A B两个任意区域，那么平面中一定存在一条直线，该直线同时评分A和B
存在性证明
    在平面上选定固定点P，引出射线PR,另x为PS与PR的夹角，l_u为平行于PS的直线，则令f(u)为l_u分A的面积差。必然存在u使得f(u)=0，且对于不同的x，u的值不同。
    假设g(x)为l_PS(x)分B的面积差，则必然也存在g(x)=0。

证明 用两条相互垂直的直线把区域分为四个相等的部分
    设分成四部分 A1 A2 A3 A4  如果A1(x) = A2(x) 则其余均相等
    设f(x) = A1(x) - A2(x)
    这样0~π/2 必然存在x使得 f(x)=0

    可以推广到高维空间。

a_n <= b_n <= c_n
a_n -> x,   c_n -> x   则b_n -> x

n^(1/p)的极限r
n^(1/p)->1 [n->∞]
    设 p > 1, n^(1/p) > 1,  n^(1/p) = 1 + n*h_n
    p = (1 + h_n)^n > n*h_n
    0 < h_n < p/n
    b_n = 0  c_n = p/n 以0为极限
    h_n -> 0
   
    若0<p<1 n^(1/p) < 1
    n^(1/p) = 1
    n^(1/p) = 1/(1+h_n)
    p = 1/((1+h_n)^n) < 1/(n*h_n)
    0 < h_n < 1/np
    h_n -> 0

极限叠代求法
    a1 = 1
    a_n+1 = sqrt(1+a_n)
    (a_n+1)^2 - (a_n)^2 = a_n - a_n-1
    只要a_n > a_n-1 就有a_n+1 > a_n
    所以数列递增
    a_n+1 = (1 + a_n) / (a_n+1) < (1 + a_n+1) / (a_n+1) = 1 + 1 / (a_n+1) < 2
    n->∞, (a_n+1)^2 = 1 + a_n
    a = (1+sqrt(5))/2
(1-q^n)/(1-q) = 1 + q + q^2 + q^3 + … + q^n-1
1/(1-q) = 1 + q + q^2 + … + q^n-1 + q^n / (1-q)
令q = -x^2
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +….

Int(a, b)(x^m*dx) = (b^m+1 - a^m+1) / (m+1)
Int(0, 1)(dx/(1+x^2)) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7….
Int(0, 1)(x^m*dx) = 1/(m+1)

(1+1/n)^n -> e  [n->∞]

cosx <= 1
Int(0,x)(cosxdx) <= Int(0,x)(dx)
sinx <= x
1-cosx <= x^2/2
cosx >= 1 - x^2/2
sinx >= x - x^3/3!

sinx <= x
sinx >= x - x^3/3!
sinx <= x - x^3/3! + x^5/5!
sinx >= x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!

cosx <= 1
cosx >= 1 - x^2/2!
cosx <= 1 - x^2/2! + x^4/4!
cosx >= 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!

cosx + isinx = (cos(x/n) + i sin(x/n))^n
sin(x/n)/(x/n) -> 1  [n->∞]
cosx + isinx = (1 + i x/n)^n [n->∞]
z = ix = (1 + z/n)^n = e^ix  [n->∞]

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