文章来源: http://thunderfyc.wordpress.com.cn  

平行
    两直线交点在无穷远处 每条直线有一理想点 属于且只属于给定直线平行的所有直线
    平面上有一理想直线 包含且只包含所有理想点

无穷远点的投影笛沙格定理
    三角形ABC和三角形A’B'C’    AA’BB’CC’共点于O 则AB与A’B'交点P. AC与A’C'交点Q BC与B’C'交点R PQR共线
证明   投影该图形，使得AC//A’C’ AB//A’B’ BC//B’C’
对偶性  任何一个正确的射影几何定理得对偶正确
画一直线通过点和在直线上标一点为对偶操作    直线和点为对偶元素

齐次坐标 P坐标(x,y,1) O(0,0,0) P的齐次坐标(tx,ty,t)
    无穷远点坐标(x,y,0) ax+by+cz=0
圆锥曲线 (abcd)恒定 => 二次曲线与两族射影相关线束中相应直线交点轨迹。 O与O’相合时为圆 若符号相反 为等轴双曲线

文章来源: http://thunderfyc.wordpress.com.cn 

双曲面
    任三处于一段位置上l1 l2 l3 没有两条在同一平面 亦不同时平行于任一平面 则空间中任一直线与这三条直线相交
    过l1任一平面π π与l2 l3交于两点 交点连线m和l1 l2 l3相交 pi 绕着l1 旋转 m随之交， 生成一个曲面为单叶双曲面 之中任三条也有一般位置上
双曲几何克莱因模型
    平面仅由圆内点组成 外点丢开不管 圆内点为非欧几里得点 弦为直线
    平行公设不成立 过一点能画无限平行线(不相交)

    |PQ| = log(OSQP)  OS为PQ连线和圆交点
欧几里德几何中 三角形内角和180° 双曲几何小于180°

黎曼几何
    直线为球的大圆 平行线不存在
    V 顶点    E 棱    F 面    V-E+F=2
简单多面体 表面能连续变换为一个球面

正多面体特征

维数归纳定义
    一个空间若去掉一个(n-1)维子集 可以使任意两点分离 去掉较低维子集不可 则称为n维

亏格
    能在曲面上画出而不把曲面分割开的互不相交的简单闭曲线的最多个数 球的亏格为0 圆环亏格为1

曲面欧拉示性数
    亏格为p的闭曲面S 在S上标出一些顶点 用曲线把他们分为若干区域
    V-E+F = 2 - 2p
假设S是带有p环柄的球面 任何一个亏格为p的曲面可以变形成那个曲面

若R是l上使得PR+RQ为极小的点 PR和RQ与l成等角
椭圆切线与切点和焦点的两条连线成等角

到给定曲线的距离极值 若C上一点R 则PR垂直于C在R的切线
直径即最长弦 在它的两个端点垂直于C

施泰纳问题
    在三角形ABC中 找到点P 使得PA+PB+PC最小
    若内角均小于120 P为使张角均为120°的点
    若C大于等于120° P与C重合

使K为PA+PB最小点轨迹 PA和PB与K的夹角相等 同理 所有张角均为120
若AB至少有一点在K上或K内 a+b >= AB AC <= c  a+b+c >= AB+AC
三角形ABC内角均小于120° a+b+c最小为张角为120°的点 a+b-c最小点在C
三角形C内角大于等于120° a+b+c最小点为C a+b-c最小为张角为120°的点

施泰纳网络长 / 生成网络长 >= sqrt(3)/2

数学问题的实验解法
等周圆形 圆面积最大
假设C是最大面积的图形 证明C是凸曲线(任意两点的直线段在曲线区域内)
假设非凸，必有对应点与其等周 且面积更大 (翻折凹部即可)
取AB把C分割为等长两弧 则直线AB把C面积分为等面积 否则把较大面积AB翻折 得到另一个长度为L的 更大面积的部分

新问题 1/2*L长，端点AB在一直线 面积最大
每个内接角均为直角，否则，可以通过移动得到更大面积

连杆 波西里叶反演 哈特反演

两条直线或曲线夹角在反演下不变

射影不变量 四点交比 (ABCD) = (CA/CB)/(DA/DB)
若(ABCD) = -1 CD 关于AB调和共轭

(ABCD)*(BACD) = 1
(ABCD)+(ACBD) = 1

完全四边形
    四条直线中任三条不共点 交于6点
    任取一对角线于其他两对角线焦点调和分开对角线顶点
C对于AB的调和共轭点 C与AB共线
直线外取E 作EA EB EC 在EC上取G 另AG交EB于F BG交EA于I 连IF IF与AB交点为D

文章来源: http://thunderfyc.wordpress.com.cn